معامل بواسون: الصيغة والمعنى والقيم للمواد الشائعة

نسبة بواسون (ν) هي مقدار انحسار المادة جانبيًّا عند شدها، مقسومًا على مقدار إطالة طولها. وبصيغة رياضية، ν = −ε_transverse / ε_axial. تتراوح هذه النسبة في معظم المعادن بين 0.25 و0.35، مما يعني أن القضيب الذي يتم شده بنسبة 1% يصبح أرق بنسبة 0.3% تقريبًا. تقترب نسبة المطاط من 0.5، بينما تقترب نسبة الفلين من 0، بل إن بعض المواد “المتوسعة” المصممة هندسيًا تصل نسبتها إلى قيمة سالبة.

تكون هذه القيمة مهمة كلما تعرضت القطعة لحمل من أكثر من اتجاه واحد. وفي التجميعات الفعلية، يكون هذا هو الحال في معظم الأحيان.

يستمد هذا المفهوم من علم متانة المواد، وهو فرع من فروع الميكانيكا يدرس تشوه الأجسام الصلبة تحت تأثير الأحمال. وفي الهندسة الميكانيكية، تُعد هذه النسبة مدخلاً أساسيًّا لتحليل الإجهاد، وتحدد قيمتها سلوك المواد عندما تؤثر عليها قوى في أكثر من اتجاه واحد في آن واحد.

ما الذي تخبرك به هذه النسبة؟

إذا شددت شريطًا مطاطيًا، فإنه يصبح أرق كلما زاد طوله. وتحدث نفس الظاهرة مع المعادن. لكنك لا تستطيع رؤية ذلك، لأن التغير في قطر قضيب فولاذي يُقاس بالألف من المليمتر حتى عندما يتعرض القضيب لحمل يقترب من نقطة الخضوع. وتُسمى هذه الاستجابة الجانبية «تأثير بواسون»، نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون.

هناك سلالتان معنيتان بالأمر:

• الانفعال المحوري (ε_axial): التغير في الطول مقسومًا على الطول الأصلي، في اتجاه الحمل.
• الانفعال العرضي (ε_transverse): التغير في العرض أو القطر مقسومًا على القيمة الأصلية، بزاوية قائمة على اتجاه الحمل.

في حالة الشد، يكون الانفعال المحوري موجبًا، بينما يكون الانفعال العرضي سالبًا. وعلامة السالب في الصيغة تجعل النسبة عددًا موجبًا بالنسبة للمواد العادية.

يحدد المهندسون هذه النسبة من خلال اختبار أحادي المحور بسيط، يتم فيه شد العينة على طول محور واحد وقياس مقدار انحسارها جانبيًّا. وتُعرَّف النتيجة بأنها نسبة الإجهاد العرضي إلى الإجهاد المحوري، مع إضافة علامة سالب للحفاظ على القيمة موجبة. يقوم مقياس الإجهاد الجانبي الموجود على جانب العينة بتسجيل التغير الجانبي، والذي عادةً ما يكون أصغر بكثير من التغير في الطول.

صيغة ν ومثال توضيحي

ν = −ε_المستعرض / ε_المحوري

مثال توضيحي. يبلغ قطر قضيب اختبار فولاذي 10.000 مم، وطول القياس 50 مم. وعند تعرضه للحمل، يزداد طول القياس بمقدار 0.050 مم، بينما يتقلص القطر بمقدار 0.0029 مم.

• الإجهاد المحوري: 0.050 ÷ 50 = 0.0010
• الانفعال العرضي: −0.0029 ÷ 10 = −0.00029
• ν = 0.00029 ÷ 0.0010 = 0.29

تعتبر النتيجة 0.29 قيمة نموذجية للفولاذ الكربوني. لاحظ مدى ضآلة التغير في القطر: أقل من ثلاثة ميكرونات. ويُعد قياسه بدقة الجزء الأصعب في أي اختبار، وهي نقطة يشدد عليها معيار ASTM بشكل مباشر في ملاحظاته المتعلقة بخطأ الإجهاد العرضي.

ماذا تعني القيم 0 و0.3 و0.5؟

يُبيّن هذا الرقم كيفية تفاعل المادة مع الحمل من حيث حجم التداول:

• ν = 0.5: يحتفظ المادة بحجمها. فإذا قمت بتمديدها، فإنها تضيق بالقدر الكافي تمامًا لتعويض ذلك. ويقترب المطاط والمواد المرنة الأخرى من هذه الخاصية، ولهذا السبب تتصرف وكأنها غير قابلة للانضغاط تقريبًا.
• ν ≈ 0.3: وهو أمر معتاد في المعادن. يزداد الحجم قليلاً تحت تأثير الشد.
• ν ≈ 0: هذه المادة لا تتقلص على الإطلاق. الفلين هو المثال الكلاسيكي على ذلك، وهو أحد الأسباب التي تجعله يغلق زجاجات النبيذ بإحكام: فدفعه داخل عنق الزجاجة لا يجعله ينتفخ جانبيًّا.
• ν < 0: تتسع المواد المتوسعة عند شدها. وعادةً ما تكون عبارة عن رغاوي مصممة هندسيًا أو هياكل شبكية.

بالنسبة للمواد المتناحية، تحدد النظرية هذه النسبة في حدود تتراوح بين −1 و 0.5.

تستخدم الهندسة المدنية نفس المفهوم في حالة الخرسانة والتربة، حيث تؤثر هذه القيمة على كيفية استقرار الأساس وكيفية مقاومة الجدار الاستنادي للضغط. ومن الناحية الفيزيائية، يربط هذا الرقم بين تغير الحجم وتغير الشكل، فالمادة التي تحافظ على حجمها (ν = 0.5) تضيق في كل اتجاه جانبي بمقدار نصف مقدار طولها.

قيم معامل بواسون للمواد الشائعة

فيما يلي القيم النموذجية في درجة حرارة الغرفة. وهي أرقام إرشادية لأغراض التصميم والتحليل، وليست بيانات معتمدة. يرجى الرجوع إلى ورقة بيانات المورد عند إجراء أي حسابات ذات أهمية حاسمة للسلامة.

المواد	القيمة النموذجية لـ ν
الفولاذ الكربوني	0.27 إلى 0.30
الفولاذ المقاوم للصدأ 304 / 316	0.27 إلى 0.30
سبائك الألومنيوم (6061، 7075)	0.33
التيتانيوم Ti-6Al-4V	0.31 إلى 0.34
النحاس	0.33 إلى 0.34
نحاس	0.33 إلى 0.35
الحديد الزهر الرمادي	0.21 إلى 0.26
الرصاص	حوالي 0.43
زجاج	0.20 إلى 0.25
الخرسانة	0.10 إلى 0.20
ABS	حوالي 0.35
بولي كربونات	حوالي 0.37
PEEK	حوالي 0.38 إلى 0.40
المطاط الطبيعي	0.49 إلى 0.50
كورك	قريب من 0

تترابط المعادن بقوة. ولهذا السبب، تستخدم العديد من الحسابات اليدوية ببساطة القيمة 0.3 للفولاذ و0.33 للألمنيوم دون فقدان دقة ذات مغزى، في حين أن قيم البلاستيك تكون أعلى وتتغير بشكل أكبر مع تغير درجة الحرارة والرطوبة ومحتوى الألياف، لذا فإن قيمها تستحق إعادة النظر فيها قبل الموافقة على أي حساب يتعلق بالملاءمة أو الإحكام.

كيف يرتبط ν بمعامل يونغ ومعامل القص

بالنسبة للمادة المتناحية، ترتبط ثلاث ثوابت مرنة ببعضها البعض:

E = 2G(1 + ν)

E هي معامل يونغ و G هو معامل القص. إذا عُرفت قيمتان منها، فإن الثالثة تتبعهما. تقرير المعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST) بشأن بيانات معاملات المرونة (NISTIR 6853) تستخدم نفس المعادلة، التي تُكتب على النحو التالي: ν = E / 2G − 1.

مثال: الألومنيوم الذي تبلغ قيمة E فيه 68.9 GPa وν = 0.33، يعطي قيمة G ≈ 25.9 GPa. للاطلاع على تحليل كامل لسلوك القص، اقرأ دليلنا الخاص بـ معامل القص وصلابة المادة.

ومن العوامل ذات الصلة معدل الانضغاط الحجمي، K = E / [3(1 − 2ν)]. وعندما يقترب ν من 0.5، يتجه معدل الانضغاط الحجمي نحو اللانهاية. وهذه هي الطريقة الرياضية للتعبير عن أن المطاط يصعب ضغطه جدًّا في جميع الاتجاهات، على الرغم من سهولة تمدده.

يربط معامل المرونة بين الثوابت الثلاثة، لذا يمكن للمصمم الذي يعرف اثنتين منها أن يحسب الثالثة. وبالنسبة للأجزاء الحساسة من حيث السلامة، فإن العامل الأهم ليس النسبة وحدها، بل أداء الهيكل بأكمله تحت الأحمال الفعلية، بما في ذلك درجة الحرارة والرطوبة.

كيف يتم قياس النسبة في المختبر؟

الطريقة الشائعة المستخدمة في المواد الإنشائية هي ASTM E132، طريقة الاختبار القياسية لتحديد معامل بواسون في درجة حرارة الغرفة. يتم شد عينة مسطحة، بينما يقوم مقياسان للتمدد أو مقياسان للإجهاد بتسجيل الإجهاد المحوري والعرضي في الوقت نفسه.

تنبثق عن هذه الطريقة ثلاث قواعد عملية:

• يجب إجراء القياس فقط عند القيم التي تقل عن الحد النسبي. أما عند القيم التي تزيد عنه، فإن نسبة الإجهادات تتغير مع تغير الحمل، ولا ينبغي الإبلاغ عنها بقيمة ν.
• الانفعال العرضي ضئيل، لذا فإن خطأ قياسه عادةً ما يحد من الدقة.
• إذا اختلفت النتيجة بشكل ملحوظ عن القيمة المحسوبة من E و G، فقد لا تكون المادة متجانسة الخواص.

يُعد الاختبار بالموجات فوق الصوتية أسرع. فهو يحسب الثوابت المرنة استنادًا إلى سرعة انتقال الموجات الصوتية الطولية والقصية عبر المادة، مما يجعله مفيدًا للأجزاء النهائية التي لا يمكن تقطيعها إلى عينات اختبار.

لماذا يُعد تأثير بواسون مهمًا في التصميم والتصنيع؟

إن تجاهل تأثير بواسون يؤدي إلى مشاكل حقيقية، لا سيما في الوصلات والموانع:

• التركيب بالضغط والتركيب بالانكماش. يؤدي ضغط العمود داخل المحور إلى تمدده. ويعتمد ضغط التلامس الناتج عن ذلك على الخصائص المرنة لكلا الجزأين، بما في ذلك المعامل ν؛ لذا فإن حسابات التداخل التي تستبعد هذا المعامل تؤدي إلى تقدير خاطئ لقوة التثبيت.
• الحشيات والحلقات الدائرية. لا يمكن ضغط المطاط الصناعي الذي يقترب معامل مرونته من 0.5 إلى حجم أصغر. فالأخدود الذي لا يتوفر فيه مساحة كافية لحركة المطاط جانبيًّا سيؤدي إلى سحق أو بثق مانع التسرب.
• جدران رقيقة. عند تثبيت أو خراطة قطع رقيقة من الألومنيوم أو البلاستيك، تتسبب القوى المحورية في حدوث حركة جانبية قد تؤدي إلى خروج الأقطار عن نطاق التفاوت المسموح به.

تحذير عملي من أرضية المصنع: تتميز المواد البلاستيكية مثل PEEK والأسيتال بنسب أعلى وصلابة أقل مقارنة بالمعادن. فالجلبة البلاستيكية الرقيقة التي يتم تثبيتها بقوة مفرطة أثناء عملية الخراطة تنتفخ، ثم تتخذ شكلًا دائريًّا بعد معالجتها، لتعود بعد ذلك إلى شكلها البيضاوي عند تحريرها. يمكن تجنب معظم ذلك من خلال التثبيت الخفيف، والفكوك الناعمة، وعمليات التشطيب النهائية. لدينا التصنيع الآلي الدقيق يقوم الفريق بتخطيط جدول العمل مع مراعاة هذه التأثيرات على الأجزاء ذات التفاوتات الدقيقة.

هناك قيد واحد يجب أخذه في الاعتبار: القيم الواردة في الجدول تفترض أن المادة متجانسة الخواص. فقد تُظهر الألواح المدرفلة، والمواد المبثوقة، والمواد المركبة، والأجزاء المطبوعة ثلاثي الأبعاد نسبًا مختلفة في اتجاهات مختلفة. وفي هذه الحالات، تكون بيانات الاختبار في الاتجاه الصحيح أكثر دقة من أي أرقام واردة في الكتيبات.

كما يؤثر هذا التغير على الطول: فالقضيب الذي يتم شده طوليًا يصبح أطول، أما التضييق الجانبي فهو انخفاض في القطر يجب أخذه في الاعتبار في حالات التركيب الضيق. وعندما يتم تصميم مانع التسرب أو التركيب بالضغط بناءً على هذه القيم، فإن النتيجة تكون متينة أثناء الاستخدام بدلاً من حدوث تسرب أو ارتخاء.

الأسئلة الشائعة

تطبيق معامل بواسون على الأجزاء الحقيقية

توضح هذه النسبة كيفية تغير شكل القطعة جانبيًّا عند تعرضها لحمل على محور واحد. استخدم القيم النموذجية المذكورة أعلاه في الحسابات الأولية، واربطها بمعامل يونغ ومعامل القص عندما تحتاج إلى ثابت ثالث، واعتمد على بيانات الاختبار في حالة القطع غير المتجانسة أو ذات الأهمية الحاسمة من حيث السلامة. وانتبه جيدًا في حالات التثبيت بالضغط، والموانع التسرب، والمكونات ذات الجدران الرقيقة.

هل تحتاج إلى قطع غيار حيث يُعد الملاءمة والانحراف عاملين مهمين؟ تصفح منتجاتنا المواد، استكشف خدمات التصنيع الآلي باستخدام الحاسب الآلي الرقمي، أو قم بتحميل رسم لـ عرض أسعار فوري مجاني من دقة تووي.